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1 INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA. Relación 4: REGRESIÓN Y CORRELACIÓN 1.- En una población se ha procedido a realizar observaciones sobre un par de variables X e Y. Xi Yi ni a) Estimar la recta de regresión de Y sobre X. b) Estimar la recta de regresión de X sobre Y. c) Calcular el coeficiente de determinación. d) Representar gráficamente ambas rectas. SOL: a) Ŷ =- 1,35 + 0,38 X b) ˆX= 4, + 0,6 Y c) R = 0,49.- A partir de X Y Calcular las rectas de regresión de Y sobre X y de X sobre Y, representarlas gráficamente y comprobar que se cortan en el centro de gravedad. SOL: Y= ˆ 1, ,36 X X= ˆ - 1,5 + 1, Y 3.- En la estimación de un modelo de regresión lineal se ha obtenido: X = 5 Y = 8 r = 0.9 S XY =15 S Y = 0 a) Calcular la varianza de X. b) Estimar las rectas de regresión de Y sobre X y de X sobre Y. SOL: a) 1,5 b) Y= ˆ + 1, X X= ˆ ,5 Y 4.- De una variable aleatoria bidimensional conocemos los siguientes datos: a10=4,3 a01=4,40 a11=6, a0=6, a0=90,5 Calcular: a) Coeficiente de correlación lineal. b) Coeficiente a y b de la recta de regresión vertical, a partir de la covarianza y a partir del coeficiente de correlación lineal. c) Coeficiente de determinación (mediante dos procedimientos distintos). d) Comentario de los resultados. SOL.- a) 0,9 b) b=1,19 c) 0,95 1

2 5.- Las 6 cooperativas agrarias de una comarca presentaban las siguientes cifras correspondientes a las variables: X= stock medio de almacén (miles de ptas). Y= cifra de ventas media diaria (miles de ptas). Z= empleados fijos. V= empleados eventuales. Σ X = 13 Coop X Y Z V Σ Y = 80 A Σ Z = 48 B Σ V = 36 C Σ X = 3,18 D Σ Y =104,64 E Σ Z = 400 F Σ V = 3 a) Calcular los coeficientes de correlación de (Y,X) y (Z,V). b) Ajustar la recta de regresión minimocuadrática de V sobre Z. c) Predecir el número de empleados eventuales que va a tener si el número de empleados fijos fuese 1. SOL: a) 0,1054; -1 b) ˆV = Z + 14 c) 6.- Se ha estimado la siguiente recta de regresión lineal:ŷ = 5 + 3X. a) Obtener la recta de X sobre Y sabiendo que r=1. b) Sería posible que en este modelo, el coeficiente de regresión fuese negativo? 5 1 SOL: a) ˆX= Y b) No, ya que SXY> Sea ˆX= Y la recta de regresión de X/Y. Se sabe que Y = 0, SXY =, SX =. Calcular: a) El centro de gravedad b) Coeficiente de correlación lineal c) Recta de regresión de Y/X a) (3/,0) b) r=-1/ c) 1 3 Ŷ= - X+ 4 8X + Y =1 8.- Supongamos una distribución bidimensional cuyas rectas de regresión son: 16X + 9Y = 1. Determinar cuál es la recta de regresión de X Y y cuál la de Y X. Calcular también el coeficiente de correlación lineal.

3 SOL: r=-0,6 9.- A partir de los siguientes datos X - 0 Y obtener: a) La recta de Y/X b) El coeficiente de determinación del ajuste Y/X c) Varianza residual (por dos procedimientos) a) Ŷ= - X 3 4 b) R =0,5 c) S e=1/ Sea Y=4+0,6X ˆ ; X= ˆ +Y, las rectas de regresión de dos variables X e Y. Sea X- 3 U =, V=3Y+5, determinar las rectas de regresión de U/V y V/U, así como el coeficiente de correlación lineal. U=3,3+ ˆ 1/6V V=,4+ ˆ 3,6U r=0, 11.- Ajustar por mínimos cuadrados, una parábola de º grado a los datos siguientes: X Y Calcular la varianza residual y el coeficiente de determinación. 0 4 X S Ŷ= + e = R =0, Ajustada una parábola de segundo grado a 10 pares de valores (Xi, Yi) siendo Y la variable dependiente y X la independiente, se ha obtenido que r =0,85. Hallar la varianza residual del ajuste sabiendo que los 10 valores de Y son los siguientes: 1,,3,4,4,5,4,3,3,1. S e=0,4 Coeficiente de determinación=0, Sea la función Q= A.L b, donde Q es la producción y L es el empleo. Dados los datos: Q L Estimar A y b. A=0,903 b=0,61 3

4 14.- Estudiar cuales de los siguientes casos son compatibles: a) Y=X+4 Y=3X+ rectas de regresión de una variable sobre la otra, r=/3. b) Y=X+3 r=0 c) r=-0,4 Y=X Contestar, razonadamente, a las siguientes cuestiones: a) Es posible que para una nube de puntos (X,Y), las rectas de regresión sean X Ŷ =, ˆX=1 4Y? 3 b) Si X - Y =1, es una recta de regresión, puede ser negativo su coeficiente de correlación lineal? c) Si X+Y=-1, 3X+5Y= son las rectas de regresión de una variable bidimensional, determinar el centro de gravedad. d) Si existe una fuerte correlación positiva entre dos variables X e Y, cómo será la correlación existente entre U y V, siendo U=3-X y V=4+3Y? a) No, pues r =4/3 >1 b) No, pues sig r=sig b= sig d, y b y d son positivos c) (-1,1) d) Correlación inversa y fuerte r(u,v)=-r(x,y) 16.- Se tienen los siguientes datos referentes a la producción (X) y el coste total de fabricación (Y) en una industria: n = 5 Xi = 64 Yi = 4 Xi Yi = 3199 Xi = 88 Y i = (Y expresado en euros) a) Obtener la recta de regresión de Y sobre X. b) Si se producen 15 unidades, cuál será el coste estimado de fabricación? Justificar la respuesta. c) Sin resolverlo numéricamente, explicar cómo se obtendría el número de unidades producidas por un coste de 300 euros. SOL: a) Ŷ = 5+ 4,5X b) 58,5 euros 1.- En una encuesta realizada a 10 familias se han obtenido los siguientes resultados sobre sus gastos de alimentación (Y) y sus ingresos totales (X) X = 14,3 Y =, X i =16 Yi =660 Xi( Yi-Y)= 64,5 Ambas variables están expresadas en cientos de euros y se refieren al período de un mes. a) Estimar una ecuación lineal que explique los gastos en función de los ingresos. b) Calcular la varianza de Y, así como su descomposición en varianza explicada por la 4

5 regresión y varianza residual. c) Obtener el coeficiente de determinación. d) Si los ingresos aumentaran en 10, en cuánto aumentarían los gastos de alimentación? Ŷ=0,34+0,58X r =0, Existe una relación lineal entre el número de unidades vendidas diariamente de un determinado producto (X) y los gastos mensuales (en cientos de euros) de promoción de dicho producto (Y). Dicha relación estadísticamente viene reflejada mediante la recta de regresión X sobre Y, ˆX=3+ 0,15Y. La distribución marginal de X viene dada por: Xi ni 5 3 Además se sabe que ( Xi- X)(Yj- Y)nij = 0. i j Determinar: a) El centro de gravedad y la varianza de Y. b) La recta de regresión de Y sobre X y la bondad de ajuste. Comentar. c) La varianza residual de la recta de regresión calculada en el apartado anterior La recta de regresión de Y/X es Ŷ=-X, la distribución unidimensional de Y es: Yi 5 9 n.j y a0=11. Calcular: a) El centro de gravedad. b) La recta de regresión de X sobre Y. c) El coeficiente de correlación lineal. Comentar el resultado. d) La varianza residual y la varianza explicada por la regresión. 0.- La recta de regresión de Y sobre X es Ŷ=4+bX y su coeficiente de determinación es 0,8. Además se sabe que S = 16 Ŷ y que el punto de corte de la recta de regresión Y/X y la de X/Y es (1,). Calcular: a) S X y S Y b) SXY c) Predecir el valor de X si Y=. a) S=4 x S y=4 b) xy S =- 8 c) Sea la distribución unidimensional: Xi ni Supongamos que la anterior distribución es una distribución marginal de una distribución bidimensional (X,Y) de la que además conocemos Y j n j = 340 ; Ŷ=5X 0. Determinar la recta de regresión de X sobre Y, así como la bondad del ajuste. 5

6 ˆX=4,55+0,0895Y R = 0,44.- En una encuesta de presupuestos familiares realizada a 00 familias se han obtenido los siguientes resultados sobre ingresos (R) y gastos (C): R \ C (Los intervalos están expresados en cientos de euros y se consideran representativas sus marcas de clase). a) Estimar los parámetros de un modelo C = a+br. b) Calcular la varianza de C y su descomposición en varianza explicada por la regresión y varianza residual. c) Calcular el coeficiente de determinación. d) Qué gastos de consumo se pronosticará a una familia con unos ingresos mensuales de 000 euros.? a) Ĉ=,39+0,618R b) SC = 4,115 SCˆ =,388 Se = 1,95 c) 0,5996 d) 1465,3 3.- Una determinada empresa tiene a sus trabajadores distribuidos por edad (Y) y por antigüedad en años (X) en el puesto de trabajo, de la siguiente forma: X \ Y El salario (Z) en cientos de euros que reciben estos empleados está en función de los años de antigüedad (X). Dicha relación viene dada por Z=15+0X. a) Representar gráficamente la distribución marginal de X. b) Calcular el salario medio y la varianza de Z. c) Obtener la distribución de la antigüedad restringida a aquellos que tienen más de 40 años. d) Determinar la edad más frecuente de los trabajadores que tienen más de 4 años de antigüedad. e) Calcular a11 y m11. f) Obtener la recta que exprese la antigüedad en función de la edad. g) Calcular la recta que exprese el salario en función de la edad y determinar el salario que se puede predecir para los trabajadores que tengan 4 años. h) Cómo están relacionados los coeficientes de determinación de las rectas calculadas en los apartados f) y g)? 6

7 4.- Para un sector productivo integrado por empresas se han obtenido los siguientes estadísticos sobre producción (P, en miles de Tm.), y empleo (E, en cientos de trabajadores): P = 63,55 E = 46,1 (Pi - P ) =14654,8 (Pi- P)(E i - (E -E ) E) = 5361,06 i =196,3 Deseamos determinar una relación lineal que explique el comportamiento de la producción en función del número de empleados. a) Estimar dicha ecuación y determinar si efectivamente podemos suponer una relación lineal entre ambas variables. b) Para una empresa con empleados estimar la productividad en Tm./empleado. a) ˆP= - 63,14+,13E Si (R =0,994) b),13tm/empl 5.- Se ha estimado que la recta de regresión de Y sobre X para un conjunto de 10 datos es: Ŷ = X Sabiendo, además, que yi = 8.4 xi = 3340 y Se²=3.18 (varianza residual de la regresión de Y/X). Obtener la recta de regresión de X sobre Y y estimar la bondad del ajuste. ˆX=0,8603+1,318Y R = 0,95

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