P. A. U. LAS PALMAS 2005


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1 P. A. U. LAS PALMAS 2005 OPCIÓN A: J U N I O Hallar el área encerrada por la gráfica de la función f(x) = x 3 4x 2 + 5x 2 y la rectas y = 0, x = 1 y x = 3. x 3 4x 2 + 5x 2 es una función polinómica que: - Corta al eje OX cuando x 3 4x 2 + 5x 2 = 0. Descomponemos en factores aplicando la regla de Ruffini y obtenemos: f(x) corta al eje OX en x = 1 (raíz doble: tangente al eje OX) y en x = 2. - El área que buscamos consta de dos recintos: uno comprendido entre x = 1 y x = 2, cuya gráfica está por debajo del eje OX por lo que su área es y otro, comprendido entre x = 2 y x = 3, cuya área es. Calculamos: 2. Una empresa ha decidido mejorar su seguridad instalando 9 alarmas. Un especialista en el tema señala que dada la estructura de la empresa sólo puede optar por dos tipos de alarmas, de tipo A o de tipo B; además, afirma que la seguridad de la empresa se puede expresar como la décima parte del producto entre el número de alarmas de tipo A instaladas y el cuadrado del número de alarmas instaladas de tipo B. Cuántas alarmas de cada tipo se deben instalar en la empresa para maximizar la seguridad? Es un problema de optimización donde intervienen dos variables relacionadas entre sí:

2 La función que pretendemos optimizar es Como S depende de dos variables, despejamos una de ellas en la ecuación auxiliar (A + B = 9 A = 9 B) y sustituimos: S es máx. en x = a si 3. a) Para qué valores del parámetro k admite inversa la matriz La condición necesaria y suficiente para que una matriz admita inversa es que su determinante sea 0. Calculamos el determinante: luego b) Calcular A -1 en función de k = 4. a) Comprueba que las rectas y se cortan en un punto. Dos rectas que se cortan en un punto deben cumplir dos condiciones: - Tienen distinta dirección (sus vectores directores no son proporcionales) - Determinan un plano, es decir, los vectores directores de ambas rectas y el que une los puntos R y S son linealmente dependientes por lo que su determinante es nulo.

3 Es evidente que las direcciones no son proporcionales: Además, b) Hallar la ecuación general del plano que contiene a las rectas dadas en el ejercicio anterior. La ecuación general o cartesiana de un plano viene determinado por un punto (R) y dos vectores con distinta dirección (los vectores directores de las dos rectas), y definida por la siguiente condición: Cualquier punto P(x, y, z) del plano debe verificar que es combinación lineal de luego el determinante formado por los tres vectores es nulo. R P(x, y, z) Desarrollando,

4 OPCIÓN B: 1. Representar una función que cumpla las condiciones: i) Dominio(f) = ii) Puntos de corte: P(0, 0) iii) Crecimiento: ( Máximo en (0, 0) Decrecimiento: (0, 1) iv) Asíntota vertical: x = 1, Asíntota oblicua: Trazando la asíntota vertical y la oblicua y teniendo en cuenta los demás datos, obtenemos la gráfica siguiente: 2. Calcular el área encerrada entre la curva y la cuerda de la misma que tiene por extremos los puntos de abscisas 0 y 1. B Para obtener la ecuación de la cuerda, calculamos las ordenadas de los puntos: La ecuación continua de la cuerda (determinada por el punto A y la dirección será: A El área del recinto limitado por dos funciones que se cortan en x=a y x=b (a < b) es:

5 En nuestro caso, 3. a) Discutir el siguiente sistema según los valores de k: Se trata de un sistema con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas (de Cramer), que sólo tendrá solución única cuando el determinante de la matriz de los coeficientes sea distinto de cero. Calculamos det (C) e igualamos a cero. luego El sistema no puede ser compatible determinado. Para decidir si es compatible indeterminado o incompatible según los valores de k calculamos el rango de las matrices aplicando el método de Gauss: A la vista de la matriz resultante cuando eliminamos la fila repetida, tenemos: Si k = 2 Si k 2 El sistema es compatible indeterminado b) Resolverlo para k = 0 Utilizando la matriz anterior para escribir el sistema equivalente, tenemos: 4. a) Estudiar, según los valores del parámetro m, la posición relativa de los planos: Para estudiar la posición relativa de los tres planos, discutimos el sistema formado por sus ecuaciones. En este caso se trata de un sistema homogéneo que, como sabemos, siempre tiene solución (ya que, al menos, siempre admite la solución trivial: x = y = z = 0). Aplicando el teorema de Rouché,

6 Si R(C) = 3. El sistema tiene solución única. Los planos se cortan en un punto. Si, R(C) < 3. Estudiamos la posición en cada caso. Por lo tanto, Si El sistema sólo admite la solución trivial: Los tres planos se cortan en el origen de coordenadas. Si Los tres planos se cortan según una recta. Caben dos posibilidades: - Dos planos coinciden y uno los corta. - Los tres planos se disponen como las hojas de un libro abierto. Para que dos planos coincidan los coeficientes han de ser proporcionales. A la vista de la matriz de los coeficientes, es evidente que no es nuestro caso, luego la figura que forman los tres planos si m = 3 es: b) Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos A(0, 1, 2), B(1, 0, 3) y C(2, 1, 0) Tres puntos no alineados determinan un plano. El plano que los contiene es el lugar geométrico de los puntos P(x, y, z) que verifican que es linealmente dependiente de, es decir, que el determinante formado por los tres vectores es nulo: B A C Desarrollando, o bien,

7 S E P T I E M B R E 2005 OPCIÓN A: 1. a) Determinar la abscisa de los puntos en los que la recta tangente a la función es paralela a la recta de ecuación 2x + 3y = 4. Supongamos que la abscisa del punto de tangencia es x = a. La pendiente de la recta tangente a f(x) en x = a es m = f (a). Como la recta tangente es paralela a 2x + 3y = 4, ambas rectas tendrán la misma pendiente, es decir, la derivada en x = a coincide con la pendiente de la recta 2x + 3y = 4 (que es el coeficiente de x cuando despejamos y): Quitando denominadores : b) Obtener la ecuación de la recta tangente a la función dada en el apartado anterior en el punto de abscisa x = 3. La ecuación de la recta tangente en x = 3 será 2. Dada la gráfica de h (x) Deduce la monotonía y extremos relativos de h(x), así como su curvatura y sus puntos de inflexión explicando cómo lo haces. La gráfica de la derivada de una función nos puede informar sobre las características de la propia función en varios aspectos:

8 El signo de h nos informa sobre el crecimiento de g ya que: f (x) > 0 en (a, b) f(x) crece en (a, b) f (x) < 0 en (a, b) f(x) decrece en (a, b) Si f (x) = 0, la función presenta un máximo, un mínimo (*)o un punto de inflexión con tangente horizontal. (*) El que sea un máximo o un mínimo depende del crecimiento anterior y posterior. El crecimiento de f nos informa sobre el signo de f y, por lo tanto, sobre la concavidad de f: f (x) crece en (a,b) f (x) > 0 f(x) es cóncava hacia OY + en (a, b) f (x) decrece en (a,b) f (x) < 0 f(x) es cóncava hacia OY - en (a, b) Si f (x) presenta un máximo o un mínimo, f (x) = 0 y cambia la concavidad de f(x), que son las dos condiciones necesarias para la existencia de un punto de inflexión. Vamos a representar en un cuadro las relaciones que existen entre la gráfica de la función derivada y las características de la función: En nuestro caso, teniendo en cuenta el signo de h : Teniendo en cuenta el crecimiento de h, 3. Calcular el vector X = que verifica A X B = C, siendo Despejamos X en la ecuación matricial A X B = C A X = C + B para lo cual multiplicamos los dos miembros de la igualdad por A -1 por la izda (ya que el producto de matrices no es conmutativo) A -1 A X = A -1 (C + B) X = A -1 (C + B) Calculamos la inversa:

9 = X = A -1 (C + B) = 4. Dada la recta, hallar la ecuación del plano que contiene a ésta y pasa por el punto A (0, 2, 1) La recta pasa por el punto R (1, 1, 2) y su vector director es La ecuación general o cartesiana de un plano viene determinado por un punto y dos vectores, y definida por la siguiente condición: Cualquier punto P(x, y, z) del plano debe verificar que El plano combinación lineal de vectores es nulo. está determinado por el punto R y los vectores luego el determinante formado por los tres Efectuando, la ecuación cartesiana del plano será: OPCIÓN B: 1. Hallar la función f(x) tal que. Como nos dan la segunda derivada de la función, tenemos que integrar para hallar la derivada primera e integrar de nuevo para hallar la función. Los valores de la función en x = 1 y x = e nos permiten calcular las constantes de integración: Calculamos las constantes de integración:

10 2. Dada la función, determinar razonadamente: a) El dominio. b) Los puntos de corte con los ejes de coordenadas. c) Las ecuaciones de las asíntotas, si las tiene. d) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos relativos. e) Su representación gráfica. a) f(x) no está definida cuando el denominador se anula: b) c) En una función racional como la dada, las asíntotas verticales se pueden presentar en los puntos que anulan el denominador: d) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento los determina el signo de la primera derivada:

11 Representamos el signo de f teniendo en cuenta las asíntotas: x=-1 x=1 0 e) Teniendo en cuenta todos los datos, la gráfica es: 3. Sabiendo que, halla sin desarrollar el valor de explicando las propiedades de los determinantes que utilizas. - Si en un determinante todos los elementos de una línea se componen de dos sumandos, podemos descomponerlo en suma de dos determinantes: Descomponemos por la segunda columna: - Si un determinante tiene dos líneas iguales o proporcionales, es nulo. El primero de los dos determinantes anteriores verifica que C 2 = 3 C 1 luego es nulo. Por lo tanto,

12 descomponiendo este determinante, El primero de estos determinantes es nulo (C 1 = C 3 ) y el segundo es el del enunciado si intercambiamos las dos últimas filas: - Si en un determinante se intercambian dos líneas, cambia de signo: 4. Estudiar la posición relativa del plano y la recta según los valores del parámetro m. Un ejercicio idéntico a éste ha sido resuelto anteriormente. Vamos a resolverlo por otro procedimiento. Vamos a hallar un punto y el vector director de la recta y a estudiar vectorialmente su posición con respecto al plano. Para encontrar el vector director de una recta dada como intersección de dos planos, tenemos en cuenta que la recta está contenida en cada uno de los planos por lo que su vector director es perpendicular a los vectores normales (A, B, C) de ambos planos, es decir, es su producto vectorial. Para hallar un punto, damos un valor cualquiera a una de las incógnitas (coordenadas) y calculamos las demás. Si la recta corta al plano Si, el vector director de la recta y el normal del plano son perpendiculares por lo que la recta está contenida en el plano (si R o es paralela al plano (en caso contrario). Por lo tanto, ya que el punto R(2, 3, 0) no está contenido en el plano porque

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