MATEMÁTICAS FINANCIERAS CAPITULO 3 APLICACIÓN INTERÉS COMPUESTO EJERCICIOS RESUELTOS


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1 1. Se constituye un CDT a 180 días por $ , con una tasa del 26% NTA y teniendo en cuenta que la retención en la fuente es de 7%, Determinar: a) La rentabilidad antes de impuestos. b) La rentabilidad después de impuestos y c) El valor que le entregan al vencimiento d) Suponiendo una inflación del 18% determinar la tasa real obtenida. Hallar el interés vencido que se cobra j = i x n 26% NTA = i x 4 i = 6,5% ETA i = i a / (i a -1) i = 0,065/(0,065-1) = 0,0695 i = 6,95% ETV a) Rentabilidad antes de impuestos: 6,95% ET S = P(1 +i) n = (1 +0,0695) 2 = ,68 I = , = Retención en la Fuente: x 0,07 = 6.546,05 Valor recibido: , ,05 = ,63 b) Valor finalmente recibido : $ ,63 Hallamos la rentabilidad efectiva S = P(1 +i) n S/P = (1 +i) n ( ,63/ ) = (1 +i) 2 1,06480 = 1 + i i = 0,0648 c) Rentabilidad después de impuestos: 6,48% ET Convertimos la rentabilidad trimestral en anual (1+i 1 ) 4 = (1+i 2 ) 1 (1+0,0648) 4 = (1+i 2 ) i 2 = 28,55% EA Hallamos la rentabilidad anual real; deflactando i R = (0,2855-0,18)/(1+0,18) i R = 0,0894 = 8,94% d) Rentabilidad realmente obtenida: 8,94% EA 1

2 2) Un inversionista desea obtener una rentabilidad real del 8% A qué tasa debe invertir suponiendo que la inflación va a ser del 18%? 0,08 = (i 0,18)/(1+0,18) i = 27,44% 3) Un artículo es fabricado en Estados Unidos y se vende en Colombia en $ Cuanto valdrá el artículo en Colombia y en Estados Unidos al final de un año suponiendo los siguientes índices económicos: cambio actual US$ 1= $2000, inflación en Estados Unidos 3%, devaluación del peso 18% P C = (Precio actual en Colombia); P EU = (50.000/2000) = USD 25 (Precio actual en EU) Cambio actual: 1 USD = $2.000; Devaluación del peso = 18%; Cambio al cabo de un año = 2.000(1+0,18) 1 = $2.360 Inflación en los EU = 3% P EU = 25(1+0,03) 1 = USD 25,75 (Precio al cabo de un año en EU) P C = 25,75 x = (Precio al cabo de un año en Colombia); A este valor igualmente se puede llegar si hallamos el interés combinado: inflación, devaluación y se lo aplicamos al valor inicial. i = (d+f) + (dxf) = (0,18+0,03) +(0,18x0,03) = 21,54% P C = (1+0,2154) 1 = (Precio al cabo de un año en Colombia); 4) Un artículo es fabricado en Colombia y cuesta $68.000, cuando el cambio es de US$1= 2000 Suponiendo que el IPP de este sector en Colombia es del 22%, y que la devaluación del peso frente al dólar sea del 18%, hallar el precio del mismo artículo en cada país al final de un año P C = (Precio actual en Colombia); P EU = (68.000/2000) = USD 34 (Precio actual en EU) P C = (1+0,22) 1 = (Precio al cabo de un año en Colombia) Cambio al cabo de un año = 2.000(1+0,18) 1 = $2.360 P EU = x = 35,15 (Precio al cabo de un año en EU); 2

3 5) Dos inversionistas de origen alemán, uno residente en Alemania y el otro residente en Colombia, han decidido realizar un negocio en Alemania y cada uno aportará e 50%. El negocio exige una inversión inicial de euros y al final de 3 años devolverá la suma de euros Hallar las tasas totales y reales para cada uno de los socios suponiendo que los siguientes indicadores económicos se mantuvieron estables durante los 3 años. a) tasa promedio de inflación en Colombia 22% anual b) tasa promedio de inflación en Alemania 2% anual c) tasa de devaluación del peso frente al dólar: primer año 18%, segundo año 20% y tercer año 17%, devaluación euro frente al dólar: años 1 y 2 el 2%, para el tercer año hay una reevaluación del 3% d) cambio actual 1 US$ = 2,23 y 1 US$= $ Situación para el alemán = (1 +i) 3 20/15 = (1 +i) 3 1, = i 0,10064 = i i = 10,06% EA Considerando que la tasa promedio de inflación fue del 2%; entonces podemos calcular la tasa real i R = (0, ,02)/(1+0,02) i R = 0,0790 = 7,90% Situación para el alemán Colombiano = $ = $

4 Cambio actual (0) = 2,23 = 1 USD = $1.300 Cambio actual (1) = 2,23(1+0,02) = 2,2746 = 1 USD = $1.300(1+0,18) = $1.534 Cambio actual (2) = 2,2746(1+0,02) = 2,3209 = 1 USD = $1.534(1+0,20) = $1.840,8 Cambio actual (3) = 2,3209(1-0,03) = 2,25487 = 1 USD = $1.840,8(1+0,17) = $2.153,73 Con etas tasa de cambio podemos convertir los Euros en pesos; aplicando reglas de tres: Si: 2,23 = $1.300, entonces a cuantos $X, serán iguales = ,20 Si: 2,25487 = $2.153,73 entonces a cuantos $X, serán iguales = , ,60 = ,20 (1 +i) 3 2,18459 = (1 +i) 3 1, = i 0,29754 = i i = 29,75% EA Considerando que la tasa promedio de inflación en Colombia fue del 22%; entonces podemos calcular la tasa real i R = (0, ,22)/(1+0,22) i R = 0,06356 = 6,356% 6) El señor Yukimoto residente en el Japón y Mr Jones residente en Estados Unidos se asocian para comprar un banco en Colombia, el valor de cada acción del banco es de $9.000 y esperan venderla al final de 3 meses en $ (Trabajar con 5 decimales) a) Calcule la rentabilidad anual total y la rentabilidad real anual de cada uno de los socios b) cuánto tendrá cada uno en su respectiva moneda al final de los 3 meses? Tome en cuenta la siguiente información: Inflación en: Colombia 18%, en Estados Unidos 3.5%, en Japón 2.3% Tasa de devaluación del peso frente al dólar 22% Tasa de Devaluación del dólar frente al Yen 1% Cambio actual US$1 = $2000; US$1 = Yen 105 Problema total $9.700 $

5 Socio Mr. Jones $4.850 = 2,3074 $4.500 = USD 2,25 Si la devaluación del peso con respecto al dólar es del 22%, entonces la el cambio al cabo de 3 meses es: C 3 = 2000(1+0,22) (3/12) = $2.101,93; con lo cual los $4.850 serán: USD 2,3074 Rentabilidad 2,3074 = 2,25(1 +i) 3 1, =i i = 0,8432% EM Rentabilidad Mensual Convertimos esta tasa en una tasa anual (1 +i EM ) 12 = (1 +i EA ) (1 + 0, ) =(1 +i EA ) i EA = 10,6% EA Rentabilidad anual Rentabilidad real i R = (0, ,035)/(1+0,035) i R = 0, = 6,8604% Socio Mr. Yuquimoto $4.850 = Y 241,66839 $4.500 = Y 236,25 Aquí es necesario considerar la revaluación del Yen y la devaluación del Peso con respecto al USD. 1USD = 105 Y = $2.000, en el momento inicial; de esta manera la inversión inicial en Yen es: Y 236,25 Como el Yen se revalúa con respecto al USD C 3 = 105(1-0,010) (3/12) = Y 104,736 ; con lo cual los USD 2,3074 serán: Y 241,66839 Rentabilidad 241, = 236,25(1 +i EA ) 3/12 1, =i i = 9,4945% EM Rentabilidad Anual Rentabilidad real 5

6 i R = (0, ,023)/(1+0,023) i R = 0, = 7,03264% 7) Si en el problema anterior el valor del banco es de ochenta mil millones de pesos y Yuquimoto participa en el 40% de la compra y Mr. Jones participa con el resto, determinar la cantidad que recibirá c/u en su respectiva moneda. Valor del Banco $ Participación del señor Yuquimoto (40% de $ = $ ) Rentabilidad del proyecto en Pesos (4.850/4500) = (1 +i ET ) i ET = 7,7777% ET Valor final (después de 3 meses) participación de Yuquimoto: $ (1 + 0,7777) = $ Valor final (después de 3 meses) participación de Yuquimoto en USD, aplicando la tasa de cambio calculada en el problema anterior: ,26 Valor final (después de 3 meses) participación de Yuquimoto en Y, aplicando la tasa de cambio calculada en el problema anterior: Participación del señor Mr. Jones (60% de $ = $ ) Valor final (después de 3 meses) participación de Mr. Jones: $ (1 + 0,7777) = $ Valor final (después de 3 meses) participación de Mr. Jones en USD, aplicando la tasa de cambio calculada en el problema anterior: ,40 8) En el país A cuya moneda es el ASC, un par de zapatos vale de ASC, existe una inflación del 22% y el cambio actual es de US$1 =ASC En el país X rige el dólar americano y se prevé una inflación promedio del 6.5% anual. Al final de un año Cuál debe ser la tasa de devaluación en A con respecto al dólar a fin de no perder competitividad en los mercados de X? f = 22% d =? Pz = ASC Pz = USD 25,56 TC = 1145,53 Pz = ASC Pz = USD 24 Precio de los zapatos al cabo de un año en A = (1 + 0,22) = ASC Precio de los zapatos al cabo de un año en X = 24(1 + 0,065) = USD 25,56 6

7 Para mantener la competitividad el producto se debe vender a USD 25,56 en X; ósea que la tasa de cambio = (29.280/25,56) = 1.145,5399 S = P( 1 + d) (1.145,5399/1000) 1 = d d = 0,14554 = 14,554%. Es la Tasa de devaluación que se debe tener en el país X 9) Un inversionista desea que todas sus inversiones le den una rentabilidad real del 8%. Qué tasa efectiva anual debe ofrecérsele si la inflación esperada es del 17% de forma tal que satisfagan los deseos del inversionista? i R = 8% EA f = 17% 0,08 = (i-0,17)/(1+0,17) i = 26,36% es la tasa que se le debe ofrecer al inversionista 10) Un ahorrador consigna en una corporación de ahorro y vivienda la suma de $ el día 1 de marzo y el día 20 de junio consigna $ Cuánto podrá retirar el 31 de agosto si la corporación paga el 27% efectivo anual de corrección monetaria para los meses de marzo y abril y el 25% efectivo anual para el resto del período (mayo, junio, julio y agosto) a) elabore los cálculos en pesos b) elabore los cálculos en UPAC sabiendo que el primero de marzo 1UPAC = $6.650 x %EA $ UPAC = 45,112 25%EA $ ) Se trasladan los al S = (1 +0,27) (2/12) = ,07 2) Se trasladan los ,07 al S = ,07(1 +0,25) (4/12) = ,712 3) Se trasladan los al Número de días: = 70 S = (1 +0,25) (70/360) = ,66 7

8 Valor a retirar en el es igual a 2) + 3) = $ ,3778 4) Valor en UPAC en el momento inicial UPAC = /6.650 = 45,112 Se trasladan los 45,112 al S = 45,112(1 +0,27) (2/12) = 46,9453 5) Se trasladan los 46,9453 al S = 46,9453(1 +0,25) (4/12) = 48,5954 6) Se calcula el Valor del UPAC el S = 6.650(1 +0,27) (2/12) = 6.920,2576 S = (6.920,2576)(1 +0,25) (50/360) )= 7.138,0895 Los en UPAC son: 28,0187 7) Se trasladan los 28,0187 al S = 28,0187(1 +0,25) (4/12) = 30,1822 Valor a retirar en el en UPAC es igual a 5) + 7) = 78, ) Se estima que la corrección monetaria del primer año será del 18% y la del segundo año del 17%: a) calcular la cantidad que antes de impuestos le entregarán a un inversionista que invierte la suma de $ a dos años en una cuenta de ahorros en UPAC que la garantiza pagar la corrección monetaria más el 4% efectivo anual de interés sobre los UPAC. Suponga b) calcule la rentabilidad obtenida antes de impuestos que el cambio actual es UPAC 1 = $ c) Si la retención en la fuente es del 7% sobre los intereses, calcular la rentabilidad después de impuestos d) Calcular la cantidad final que le entregarán después de impuestos CM = 18% S 1 CM = 17% S 2 i EA1 $ i EA2 Tasa combinada para el primer año: i EA1 = (0,18 + 0,04)+(0,18 x 0,04) = 22.72% Tasa combinada para el primer año: i EA2 = (0,17 + 0,04)+(0,17 x 0,04) = 21.68% S1 = (1 + 0,2272) = S2 = (1 + 0,2168) = ,56 Rentabilidad 8

9 ( ,56/ ) = (1 + i EA ) 2 ; entonces: i EA = 22,19% Rentabilidad después de impuestos I = S 2 P = , = ,56 Retención en la fuente: ,56 x 0,07 = ,38 Valor efectivo en S 2 = , ,38 = ,18 Rentabilidad después de impuestos ( ,18/ ) = (1 + i EA ) 2 ; entonces: i EA = 20,77% 12) Hallar la tasa efectiva anual de: (Asuma: DTF= 15%TA, IPC= 10%, Libor = 5.14% NS) a) DTF + 6 puntos Considerando que es una tasa nominal: 15 NTA + 6% = 21NTA j = i x m 21 = i x 4 i = 21/4 = 5,25% ETA i = ia /(1 ia) = 0,0525/(1 0,0525) = 0, i = 5,5409% ET La tasa Efectiva anual se calcula como: (1 + 0,055409) 4 = (1 + i EA ) i = 0,2407 = 24,07% EA b) IPC + 7 puntos La tasa efectiva se calcula como una tasa combinada: (0,10 + 0,07) + (0,10x0,07) = 0,1770 = 17,70% EA c) Libor + 8 puntos Considerando que es una tasa nominal: 5,14 NTA + 8% = 13,14 NS j = i x m i = 13,14/2 = 6,57 ES La tasa Efectiva anual se calcula como: (1 + 0,0657) 2 = (1 + i EA ) I = 0, = 13,57% EA 9

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