Programación Lineal (PL)


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1 Programación Lineal (PL) Se llama programación lineal al conjunto de técnicas matemáticas que pretenden resolver la siguiente situación. El objetivo es Optimizar, una función objetivo, lo cual implica maximizar o minimizar una función lineal de varias variables sujeta a: una serie de restricciones ó limitaciones, expresadas por inecuaciones ó ecuaciones lineales. Se aplica a problemas de economía, administración, militares, agrícolas, alimenticios,de transporte, de salud, etc., que están relacionados con la optimización maximización ó minimización de una función objetivo sujeta a un sistema de igualdades o desigualdades. Las funciones de ganancia y de costo son ejemplos de funciones objetivos. Como se mencionó anteriormente la Función Objetivo se encuentra sujeta a un conjunto de restricciones ó limitaciones como puede ser limitaciones al uso de un recurso, como ejemplo podemos citar limitaciones a materia prima ó materiales, horas de trabajo, mano de obra, dinero disponible, capacidades de producción de equipos y plantas, etc. Este tipo de problemas se los conoce como problemas de decisión que a la vez se pueden expresar en forma matemática, aquellos problemas donde la función objetivo y las restricciones se expresan como ecuaciones o desigualdades lineales se llaman problemas de programación lineal. La programación lineal ofrece bases para desarrollar otros métodos de solución ó técnicas de Investigación Operativa como programación entera, estocástica y la no lineal. Un problema es lineal porque su función objetivo y el conjunto de restricciones que se imponen al sistema son lineales, quiere decir que cumplen con las propiedades de Proporcionalidad y Aditividad. Proporcionalidad: El valor de cada variable, X1, X2..Xn debe ser directamente proporcional en la función objetivo y uso de los recursos, o sea que las variaciones de las variables deben afectar en forma proporcional a la función objetivo y al conjunto de restricciones. 1

2 Aditividad: Requiere que la función objetivo sea la suma directa de las contribuciones de cada variable y las restricciones deben ser la suma de los usos individuales de cada variable del recurso correspondiente. Como ejemplo podemos mencionar dos productos que compiten en el mercado, si el aumento en la venta de uno de ellos hace que la venta del otro sea menor, entonces ambos productos no satisfacen la condición de aditividad. Solución gráfica de problemas de PL El análisis gráfico es eficiente para enfrentar la resolución de modelos de Programación Lineal con 2 variables, donde el dominio de puntos factibles (en caso de existir) se encontrará en el primer cuadrante (restricciones de no negatividad que se imponen al modelo), como producto de la intersección de las distintas restricciones del problema lineal. Para modelos con 3 ó más variables la solución gráfica es imposible de aplicar, por lo cual resolvemos los mismos mediante cálculos analíticos. Una de las propiedades básicas de un modelo de Programación Lineal que admite solución, es que ésta se encontrará en el vértice o frontera (tramo) del dominio de puntos factibles, a este espacio factible de soluciones se lo llama polígono de soluciones, todos los puntos dentro de éste espacio gráfico, y sobre las líneas exteriores que lo forman son puntos factibles de solución, la solución óptima se encontrará en un punto extremo del polígono. Es decir, luego de graficar el dominio ó polígono, evaluamos los distintos vértices de modo de elegir "el mejor" candidato según sea nuestro caso (el valor de la función objetivo será la que nos permitirá discriminar cual es el mejor candidato dependiendo si estamos maximizando o minimizando). Ejemplo: Disponemos de euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de euros en las del tipo A y como mínimo en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual? Para construir el modelo matemático de este problema debemos: 1º Determinar que resultado buscamos, Cuáles son las variables del problema? 2º Qué restricciones ó limitaciones se imponen a las variables y a la función objetivo? 3º Cuál es el objetivo que debe alcanzarse para determinar la Solución óptima, de entre todos los valores factibles de las variables? Hacemos un resumen verbal del problema, en este caso debemos determinar cuánto invertir en acciones de tipo A y en acciones de tipo B para maximizar el interés anual, 2

3 satisfaciendo las restricciones que se imponen en cuanto a la disponibilidad de dinero e inversión máxima y mínima para cada acción. 1º Identificar las variables: Como necesitamos determinar las cantidades a invertir para cada acción que cotiza en la bolsa. Llamamos x a la cantidad que invertimos en acciones de tipo A Llamamos y a la cantidad que invertimos en acciones de tipo B 2º Determinamos todas las restricciones que se imponen al sistema: Existe una restricción en cuanto al dinero total a invertir en ambas acciones. Una restricción de inversión máxima en acciones de tipo A. Una restricción de inversión mínima en acciones de tipo B. Una restricción que impone que lo invertido en A debe ser menor al doble de lo invertido en B. Debemos considerar en todos los casos las restricciones de no negatividad. Restricciones: 1º x + y <=210000,00 2º x <= º y >= º x <=2y 5º x,y >=0 3º Determinación de la Función Objetivo Como dato contamos con el rendimiento de la inversión para cada acción, por lo tanto la función objetivo será la maximización total del rendimiento de lo invertido. Si llamamos Z a la maximización total del rendimiento f(z) se define como Max Z = 0,10 x + 0,08 y Los valores de las variable x e y constituyen soluciones factibles, se respetan todas la restricciones que se imponen al modelo. Definimos el modelo matemático completo como: 3

4 Max Z = 0,10 x + 0,08 y s.a.: (sujeto a: un conjunto de restricciones) 1º x + y <=210000,00 2º x <= º y >= º x <=2y 5º x e y >=0 Un vez que construimos el modelo debemos solucionarlo, como se trata de un modelo con 2 variables la solución se puede encontrar en forma gráfica. Graficamos las rectas auxiliares asociadas a las restricciones para conseguir la región factible o polígono de soluciones (conjunto de puntos que cumplen esas condiciones). Para graficar las rectas convertimos las desigualdades en igualdades y damos valor cero a una de las variables, obteniendo el valor de la otra, tomamos como ejemplo la restricción 1º: 1º x + y =210000,00 Si x=0 y=210000,00 Si y=0 x=210000,00 Para determinar el polígono de soluciones debemos identificar el área que abarca cada desigualdad siguiendo el sentido de la misma, ya que el polígono está formado por el área común a todas las restricciones, para esto analizamos un punto en el gráfico y determinamos si cumple con la desigualdad, según se detalla: 1º x + y <=210000,00 podemos analizar el punto x=0,y=0 (origen) entonces si reemplazamos en la desigualdad <=210000, cumple con la desigualdad por lo tanto el área que abarca la misma incorpora al origen (punto analizado). Cuando la recta asociada a la desigualdad pasa por el origen como se observa en la restricción 4º 4º x <=2y analizamos un punto distinto al origen como puede ser x=40 (en miles), y=0 entonces si reemplazamos en la desigualdad 40 <=0, en este caso no cumple con la misma y por lo tanto abarca el área contraria al punto analizado. 4

5 Nota: La representación gráfica se realiza en programa Tora. Considere que los valores tanto en la ordenada como en la abscisa deben tomarse en miles de unidades monetarias. Si dibujamos la curva de la función Z dando un valor arbitrario a la misma (en azul) y la desplazamos se puede comprobar gráficamente que el vértice más alejado es el punto D (130000, 80000), y por tanto es la solución óptima, porque estamos maximizando la función Z, en este punto Z = 19400,00; llega a su máximo valor. Este resultado se puede verificar en forma analítica resolviendo las intersecciones de los puntos A, B, C, D y E que son los puntos extremos del polígono de soluciones. Punto A: Definido por la ecuación 3 y la ordenada (y) 3º y =60000 x= 0 Z= 4.800,00 Punto B: Definido por las ecuaciones 3 y 4. 3º y = º x =2y x= y=60000 Z= ,00 Punto C: Definido por las ecuaciones 2 y 4. 2º x =

6 4º x =2y x= y=65000 Z= ,00 Punto D: Definido por las ecuaciones 1 y 2. 1º x + y =210000,00 2º x = x= y= Z= ,00 Solución óptima. Punto E: Definido por la ecuación 1 y la ordenada (y). 1º x + y =210000,00 x=0 y= Z= ,00 Respuesta: El problema pide Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual? La distribución de la inversión debe ser de ,00 euros en acciones de tipo A y en acciones de tipo B, el máximo interés corresponde a Z=16800,00 euros. Cuando la función objetivo es la Minimización la curva de Z se desplaza en este sentido, el punto óptimo será el vértice del polígono ó espacio no acotado más cercano al origen, como se observa en el siguiente ejemplo. Ejemplo: Min Z= 8X + 6Y s.a.: 1º 2X + Y >= 10 2º 2X + 2Y >= 16 X e Y>= 0 Para resolver el problema graficamos el dominio de puntos factibles 6

7 El área punteada representa el dominio de puntos factibles del problema. Se destaca que este ejemplo corresponde a un dominio no acotado, lo que no implica que el problema no tenga solución. Por otra parte sabemos que el óptimo de un problema lineal se encuentra en un vértice o frontera del dominio de puntos factibles. En este caso tenemos 3 vértices candidatos al óptimo los Puntos son A,B y C. En el punto B (2,6), Z llega a su valor mínimo. Punto A: Definido por la ecuación 1 y la ordenada (Y). 1º 2X + Y = 10 X=0 Y= 10 Z= 60,00 Punto B: Definido por las ecuaciones 1 y 2. 1º 2X + Y = 10 2º 2X + 2Y = 16 X=2 Y=6 Z= 52,00 Solución óptima. Punto C: Definido por la ecuación 2 y la abscisa (X). 2º 2X + 2Y = 16 X=8 Y=0 Z= 64,00 7

8 Análisis de sensibilidad Luego de obtener la solución óptima se realiza el análisis de sensibilidad, este procedimiento nos permite identificar como cambiará o se adaptará la solución óptima ante cambios en el sistema actual, como pueden ser cambios en los precios de mercado, en cantidades ofertadas, demandadas, en la disponibilidad de recursos, etc. Los sistemas son dinámicos, este procedimiento permite que la solución óptima tenga dinamismo ante cambios a futuro en el sistema actual, de lo contrario la solución será obsoleta al momento de implementarla (no se ajustará a la realidad del sistema). Analizaremos cuánto se puede aumentar o disminuir un recurso, a este análisis también se lo conoce como análisis del lado derecho ya que el uso de los recursos se encuentra del lado derecho (2º término) de cada desigualdad ó restricción. Análisis: Cuánto se puede aumentar un recurso? El objetivo de éste análisis es determinar cuánto podemos aumentar el recurso que se analiza con el fin de mejorar el valor óptimo actual. Cuánto podemos disminuir un recurso? El objetivo de éste análisis es determinar cuánto podemos disminuir el recurso que se analiza sin perjudicar o sin cambiar el valor óptimo actual. Debemos calificar o identificar a cada restricción según su clase. Clases de restricciones: Restricciones de Enlace: son aquellas que forman parte del óptimo actual, (definen dentro de la gráfica al punto óptimo). Restricciones de no Enlace: son aquellas que no forman parte del óptimo actual. Las restricciones de enlace representan recursos escasos, que se han consumido o utilizado en su totalidad. Las restricciones de no enlace representan recursos abundantes. En este análisis debemos determinar las cantidades que se puede incrementar un recurso escaso (restricciones de enlace), lo que implicará una mejorar en la solución óptima actual y a la vez las cantidades que se puede disminuir un recurso abundante (restricciones de no enlace) sin afectar a la solución óptima actual. 8

9 En conclusión determinaremos las cantidades que mejorará la solución óptima actual y las cantidades que reduciremos los recursos que son abundantes sin empeorar la solución, a los efectos de que la misma sea dinámica ante los posibles cambios del sistema actual. Volvamos al ejemplo de las acciones y observemos la solución gráfica. En este ejemplo el punto óptimo es el D de la gráfica, formado por la intersección de las rectas 1º y 2º, como mencionamos debemos identificar a las restricciones por su clase, en este caso las restricciones 1º y 2º son de Enlace y representan recursos que se han consumido en su totalidad. Esto lo podemos corroborar reemplazando los valores de las variables en el punto D, en cualquiera de las dos restricciones y observaremos que ambos términos de las mismas se igualan con lo cual se demuestra que es un recurso que se ha consumido. Punto D: Definido por las ecuaciones 1 y 2 (de Enlace). 1º x + y =210000,00 2º x = x= y= Z= ,00 Solución óptima. Si reemplazo en 1º los valores de las variables en este punto: <=

10 Si reemplazo en 2º los valores de las variables en este punto: <= El resto de las restricciones, 3º y 4º no forman parte de la solución actual ó Punto óptimo por lo cual son restricciones de No Enlace y representan recursos abundantes. Esta situación también se puede corroborar reemplazando los valores de las variables en el punto D, en cualquiera de las dos restricciones. Clases de restricciones: 1º de Enlace recurso escaso. 2º de Enlace recurso escaso. 3º de No Enlace recurso abundante. 4º de No Enlace recurso abundante. * Observemos la restricción 2º, la recta que la representa en la gráfica se desplaza en forma creciente, asciende en forma paralela así misma incorporando parte de las rectas 4º y 1º, en la intersección de estas rectas se encuentra la nueva solución, definimos a este punto con la letra F. En F las rectas 4º y 1º son de Enlace, y la recta 2º pasa a ser de No Enlace. Si aumentamos el 2º recurso más allá de F se convierte en un recurso redundante, esto significa que cualquier incremento adicional en el 2º recurso no afectará al área de soluciones ni a la nueva solución óptima. De todas formas debemos tener en cuenta que el límite impuesto para incrementar el 2º recurso se encuentra en el punto F Los recursos escasos no deben aumentarse más allá del punto en el cual pasan a ser redundantes. Cómo determinamos este límite? El primer paso consiste en determinar los valores de las variables en el punto F (nueva solución) 1º x + y =210000,00 x = ,00 y x = ,00 4º x <=2y ,00 y =2y y = 7000,00 Max Z = 0,10 x + 0,08 y Z = 19600,00 Como podemos observar la solución mejora en el punto F. Debemos determinar el límite impuesto a este recurso, para eso reemplazamos los valores de las variables en este punto, en el primer término de la ecuación 2º 2º x = ,00 x = ,00 Por lo tanto el límite impuesto para el recurso 2º es de euros ,00 10

11 2º x <= ,00 este recurso puede aumentar hasta euros 10000,00 mejorando la solución óptima del problema original. Max Z = 0,10 x + 0,08 y s.a.: 1º x + y <=210000,00 2º x <= º y >= º x <=2y 5º x e y >=0 Nota: La representación gráfica se realiza en programa Winqsb. Volviendo al modelo original * Observemos la restricción 4º, en esta caso por ser una restricción de No Enlace, representa un recurso abundante, la recta que la representa en la gráfica debe disminuir sin empeorar el óptimo actual, por lo tanto de desplaza paralela así misma hasta el punto D x= y= Z= ,00 Solución óptima. Siguiendo el análisis y a los efectos de encontrar el límite impuesto al recurso 4º, reemplazamos los valores de las variables del punto D en el primer término de la restricción 4º x <=2y 11

12 x 2y <= (80000) = ,00 x 2y <= ,00 (como el segundo término es negativo multiplicamos toda la restricción por -1) -x + 2y >= 30000,00 Max Z = 0,10 x + 0,08 y s.a.: 1º x + y <=210000,00 2º x <= º y >= º - x + 2y>= º x e y >=0 12

13 Cambios máximos en los coeficientes de Z: Disponemos de euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de euros en las del tipo A y como mínimo en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual? Max Z = 0,10 x + 0,08 y Sujeto a: 1º x + y <=210000,00 2º x <= º y >= º x <=2y 5º x,y >=0 La solución óptima se encuentra entre la recta 1º y 2º, por lo tanto la recta de Z oscila entre ambas rectas sin variar el óptimo actual. En este análisis debemos identificar cuánto pueden variar los coeficientes de Z sin variar el óptimo actual, los cambios en los coeficientes de la función hace que varíe la pendiente de la recta. f(z) se define como Max Z = 0,10 x + 0,08 y 13

14 Si llamamos como CX al coeficiente de x y CY al coeficiente de y Max Z= CXx + CYy Ante un aumento de CX y una disminución de CY la pendiente de la recta Z gira en el sentido de las agujas del reloj con centro en el punto óptimo, si CY aumenta y CX disminuye gira en sentido contrario pero siempre con centro en el punto optimo formado por las rectas 1º y 2º, por lo tanto la solución actual se conserva si la pendiente de la recta Z varía entre ambas rectas. Si observamos la gráfica veremos que ante un aumento de CX, Z gira hasta coincidir con la recta 2 y disminuye hasta coincidir con la recta 1. Si CY se mantiene fijo con su coeficiente original y hacemos que CX varíe: Determinamos los valores máximos y mínimos de CX de la siguiente manera. Max Z = CX x + 0,08 y pendiente de Z = CX / 0,08 pendiente de restricción 1º 1/1 pendiente de restricción 2º 1/0 Igualo las pendientes para obtener el valor de Z CX / 0,08 = 1/1 Bibliografía: o o o o Investigación de Operaciones - Autor: Handy A. Taha. Investigación de Operaciones Aplicaciones y Algoritmos Wayne L. Winston. Apuntes del docente. Ejemplos extraídos de apuntes y recopilaciones varias. 14

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